06:37, 06/07/2021
Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
và có
. Vì
với mọi m.
Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng
với mọi m.
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
b).
(1)
Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
và có
. Từ đó suy ra
luôn có ít nhất 1 nghiệm
Xét trường hợp:
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
c).
(1)
Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có:
.
Ta có:
Vì
với mọi m.
luôn có ít nhất 1 nghiệm
với mọi m.
Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
d).
(1)
Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Chọn nghiệm, cho
Ta có:
Ta có:
Vì
luôn có ít nhất 1 nghiệm
. Kết luận phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
Bạn đang xem: Chứng minh phương trình có ít nhất 1 nghiệm
Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
a).
b).
LỜI GIẢI
a). Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
và
, nên suy ra
với mọi m. Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm
với mọi m.
b). Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
và có
, nên suy ra
với mọi m.
Do đó luôn có ít nhất 1 nghiệm
với mọi m.
Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
a).
b).
LỜI GIẢI
a). Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
,
Vì
phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm
Vì
phương trình có ít nhất 1 nghiệm
Từ
phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.
Chứng minh phương trình
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
LỜI GIẢI
Đặt
Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có
và
.
Vì
phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
Chứng minh phương trình
có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn .
LỜI GIẢI
Đặt
. Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có: , và
. Từ đó suy ra
. Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm thuộc khoảng .
Kết luận phương trình luôn có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn .
Cho hàm số và
. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .
LỜI GIẢI
Tập xác định của hàm số f(x) là . Vì f(x) là hàm đa thức liên tục trên R.
Ta có và
Theo đề bài có
Ta có :
Cho hàm số
a). Chứng minh
b). Chứng minh phương trình không có nghiệm thuộc khoảng
LỜI GIẢI
a. Ta có và
b. Vì hàm số không liên tục trên không có nghiệm
6. Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm.
LỜI GIẢI
Đặt
phương trình đã cho trở thành
Hàm số
liên tục trên R.
Ta có :
Do
, suy ra phương trình
có nghiệm thuộc
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
7. Chứng minh các phương trình sau có nghiệm:
a)
b)
c)
d)
LỜI GIẢI
a). Đặt
thì liên tục trên R và
Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
b). Đặt
thì liên tục trên R và
Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng , suy ra phương trình có nghiệm.
c). Đặt
thì liên tục trên R và
Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
d). Đặt
thì liên tục trên R và
Hàm số liên tục trên R, có suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng . Vậy phương trình đã cho có nghiệm.
10. Chứng minh rằng nếu và
thì phương trình có nghiệm thuộc khoảng
LỜI GIẢI
Đặt
thì liên tục trên R.
Ta có
(do )
Vì
do đó
-Với
phương trình đã cho ( kí hiệu là phương trình trở thành
Suy ra
hoặc
+Nếu thì từ
và điều kiện suy ra
. Khi đó phương trình có nghiệm là
, suy ra phương trình có nghiệm
+ Nếu
thì
(vì nếu
thì từ điều kiện suy ra )
suy ra phương trình có nghiệm
Khi đó từ điều kiện và suy ra
Do đó phương trình có nghiệm
-Với
là nghiệm thuộc .
– Với và
có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Mà
(vì
) nên phương trình có nghiệm
Vậy phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .
12. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c phương trình
có ít nhất một nghiệm.
LỜI GIẢI
Đặt
thì liên tục trên R.
Không giảm tính tổng quát, giả sử
-Nếu
hoặc
thì
suy ra phương trình có nghiệm
-Nếu
thì
và
do đó tồn tại thuộc khoảng
để
Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
8. Chứng minh phương trình
có ba nghiệm trên khoảng
LỜI GIẢI
Đặt
thì liên tục trên R.
Do đó
từ tính chất của hàm số liên tục , suy ra có nghiệm thuộc khoảng
suy ra phương trình có ba nghiệm trên khoảng
10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình
luôn có nghiệm.
Xem thêm: ” Taser Là Gì ? Nghĩa Của Từ : Taser
LỜI GIẢI
Đặt
thì liên tục trên R.
Ta có: để
để
Như vậy có
để
suy ra phương trình có nghiệm
vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.
11. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình
có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt
thì liên tục trên R.
Ta có:
để
để
Do đó
suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng
suy ra phương trình có nghiệm trong khoảng mà các khoảng và không giao nhau, do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
12. Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm mà
LỜI GIẢI
Cách 1: Đặt
ta có phương trình
Ta chứng minh phương trình có nghiệm
Đặt
phương trình trở thành:
Ta chứng minh có nghiệm trong khoảng
Đặt
thì
liên tục trên R.
Ta có
Nên
Và
Do đó
Suy ra
vậy phương trình có nghiệm
từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: (sử dụng lượng giác)
Từ công thức
Do đó
hay
với
Từ công thức này suy ra:
Nghiệm của phương trình đã cho có thể tìm được dưới dạng :
, sao cho
Đặt
, phương trình đã cho trở thành:
Lấy
ta được
và nghiệm
thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Chứng minh rằng phương trình
có ba nghiệm thực phân biệt. Hãy tìm 3 nghiệm đó.
Đặt
; tập xác định
suy ra hàm số liên tục trên . Ta có
suy ra
. Từ 3 bất đẳng thức này và tính liên tục của hàm số suy ra pt có ba nghiệm phân biệt thuộc
. Đặt
thay vào pt ta được:
, kết hợp với
ta được
. Do đó phương trình đã cho có 3 nghiệm:
.
Cho phương trình:
(
là ẩn, là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt
ta được xác định và liên tục trên .
Ta có
Do đó ta được
nên phương trình có nghiệm thuộc
suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm n số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.
Ta có
. Đặt
.
Điều kiện để hàm số xác định
.
Nếu n lẻ: hàm số xác định
.
Nếu n chẵn: Hàm số xác định
. Khi đó là hàm số chẵn trên tạp xác định của nó nên nếu phương trình có nghiệm
thì cũng có nghiệm
. Do đó ta chỉ cần xét trường hợp
.
Ta có
Ta có
. Dấu xảy ra khi
hệ này vô nghiệm. Do đó
Vì
phương trình vô nghiệm khi
.
Với ta có
.
Có ,
.
Vì
. Từ đó có
(1).
Hàm số xác định và liên tục trên
do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn
(2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
.
Kết luận là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho phương trình có nghiệm.
Cho hàm số
a). Chứng minh phương trình có nghiệm .
b). Không tính
và
hãy chứng minh
.
LỜI GIẢI
Ta có
và
nên
(1). Vì hàm số xác định và liên tục trên R nên nên hàm số f(x) liên tục trên đoạn
(2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng .
Ta có
. Vì là nghiệm của phương trình nên
.
Đặt
vì
và
.
Áp dụng định lý Cauchy cho hai số không âm
và 3 ta có
.
Dấu xảy ra
.
Chứng minh khi
thì phương trình
có ba nghiệm dương phân biệt.
LỜI GIẢI
Đặt
Vì
.
Ta có
,
,
,
. Từ đó có
(1). Vì hàm số liên tục và xác định trên R nên hàm số liên tục trên các đoạn
(2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ba nghiệm dương phân biệt lần lượt thuộc các khoảng
.
Cho
và
thỏa
. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
.
LỜI GIẢI
Đặt
. Có hàm số f(x) liên tục trên đoạn
(1).
Ta có
.
.
(2).
Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm
.
Chứng minh với mọi tham số m phương trình sau luôn có nghiệm thực:
LỜI GIẢI
Đặt
.
Ta có
và
nên (1). Vì hàm số f(x) xác định và liên tục trên R nên f(x) liên tục trên đoạn
(1). Từ (1) và (2) suy ra phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng .
Chứng minh rằng phương trình
có ba nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
Đặt
. Ta có:
.
.
.
.
Từ đó ta có
(1). Hàm số f(x) xác định và liên tục trên R do đó f(x) liên tục trên các đoạn
(2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt lần lượt thuộc các khoảng
.
Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệm với
m,n,p
.
Xét phương trình: (1)
Xét hàm số:
sao cho
.
sao cho
Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn
và
phương trình có ít nhất 1 nghiệm
và ít nhất 1 nghiệm
.
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Xem thêm: Hướng Dẫn Chơi Auto Chess Mobile, Hướng Dẫn Auto Chess Mobile Chi Tiết Nhất
Cho phương trình:
a). Với
chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
b). Với
, giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh
LỜI GIẢI
a)
Đặt
liên tục trên R.
Ta có:
Mặt khác
, nên tồn tại 2 số
và
sao cho
. Do đó
. Vậy phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng
và
.
b).
Gọi
là nghiệm của phương trình (
)
XEM THÊM CÁC THÔNG TIN KHÁC TẠI: https://taifreefire.com/
