HỎI ĐÁP

Chứng Minh Hai Mặt Phẳng Song Song Song Cực Hay, Bài Tập Và Cách Chứng Minh

06:53, 06/07/2021

Nội dung bài giảng sẽ giới thiệu đến các em các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và những dạng bài tập liên quan đến Hai mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Chứng minh hai mặt phẳng song song

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

1.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

1.3. Tính chất

1.4. Hình lăng trụ và hình hộp

1.5. Hình chóp cụt

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài 4 chương 2 hình học 11

3.1 Trắc nghiệm vềHai mặt phẳng song song

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềHai mặt phẳng song song

4.Hỏi đáp vềbài 4 chương 2 hình học 11

Cho 2 mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right).) Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) không có đường thẳng chung, tức là:

(left( P right) cap left( Q right) = emptyset Leftrightarrow left( P right)parallel left( Q right).)

b. Hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:

(left( P right) cap left( Q right) = a Leftrightarrow left( P right)) cắt (left( Q right),.)

c. Hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:

(left( P right) cap left( Q right) = left{ {a,,,b} right} Leftrightarrow left( P right) equiv left( Q right).)

*

1.2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mặt phẳng (left( P right)) chứa hai đường thẳng (a,,,b) cắt nhau và cùng song song vớimặt phẳng (left( Q right)) thì (left( P right)) song song (left( Q right).)

Tức là: (left{ begin{array}{l}a,,,b in left( P right)\a cap b = left{ I right}\aparallel left( P right),,,bparallel left( Q right)end{array} right. Rightarrow ,,left( P right)parallel left( Q right).)

*

1.3. Tính chất

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Tức là: (O notin left( P right) Rightarrow ,,exists !,,left( Q right):left{ begin{array}{l}O in left( Q right)\left( P right)parallel left( Q right)end{array} right.,.)

Cách dựng: – Trong (left( P right)) dựng (a,,,b) cắt nhau.

Qua (O) dựng ({a_1}parallel a,;{b_1}parallel b.)Mặt phẳng (left( {{a_1},,,{b_1}} right)) là mặt phẳng qua (O) và song song với (left( P right).)

Hệ quả 1: Nếu đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (left( Q right)) thì qua (a) có một và chỉ một mặt phẳng (left( P right)) song song với (left( Q right).)

Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (left( P right)) và (left( Q right)) song song thì mặt phẳng (left( R right)) đã cắt (left( P right)) thì phải cắt (left( Q right)) và các giao tuyến của chúng song song.

Tức là: (left{ begin{array}{l}left( P right)parallel left( Q right)\a = left( P right) cap left( R right)\b = left( Q right) cap left( R right)end{array} right. Rightarrow ,,aparallel b.)

*

Định lí Ta lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.

Tức là: (left{ begin{array}{l}left( P right)parallel left( Q right)parallel left( R right)\a cap left( P right) = {A_1};,,a cap left( Q right) = {B_1};,,a cap left( R right) = {C_1}\b cap left( P right) = {A_2};,,b cap left( Q right) = {B_2};,,b cap left( P right) = {C_2}end{array} right.)

( Rightarrow ,,frac{{{A_1}{B_1}}}{{{B_1}{C_1}}} = frac{{{A_2}{B_2}}}{{{B_2}{C_2}}},.)

*

1.4. Hình lăng trụ và hình hộp

Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.

Trong đó:

Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …

Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:

a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.

b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.

c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

*

Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.

b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.

*
*

Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

1.5. Hình chóp cụt

Định nghĩa: Cho hình chóp (S.{A_1}{A_2}…{A_n}.) Một mặt phẳng (left( P right)) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh (S{A_1},,,S{A_2},,,…,,,S{A_n}) theo thứ tự tại ({A”_1},,,{A”_2},,,…,,,{A”_n},.) Hình tạo bởi thiết diện ({A”_1}{A”_2}…{A”_n}) và đáy ({A_1}{A_2}…{A_n}) của hình chóp cùng với các mặt bên ({A_1}{A_2}{A”_2}{A”_1},,,{A_2}{A_3}{A”_3}{A”_2},,,…,,,{A_n}{A_1}{A”_1}A”{ _n}) gọi là một hình chóp cụt.

*

Trong đó:

Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.

Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như ({A_1}{A”_1},,,{A_2}{A”_2},,,…,,,{A_n}{A”_n}) gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.

Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…

Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:

1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.

2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.

3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.

Bài toán 1: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:

Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

(left{ begin{array}{l}a subset left( alpha right),b subset left( alpha right)\a cap b = I\aparallel left( beta right)\bparallel left( beta right)end{array} right. Rightarrow left( alpha right)parallel left( beta right)).

*

Chứng minh hai mặt phẳng đó cùng song song với măt mặt phẳng thứ ba.

Xem thêm: Nghĩa Của Từ Expat Là Gì – Tìm Hiểu Về Expat Tại Việt Nam

(left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel left( gamma right)\left( beta right)parallel left( gamma right)end{array} right. Rightarrow left( alpha right)parallel left( beta right)).

*

Ví dụ 1:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành tâm (O), gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (SA,SD). Chứng minh (left( {OMN} right)//left( {SBC} right)).

Hướng dẫn:

*

Ta có (M,O) lần lượt là trung điểm của (SA,AC) nên (OM) là đường trung bình của tam giác (SAC) ứng với cạnh (SC)do đó (OMparallel SC).

Vậy (left{ begin{array}{l}OMparallel SC\SC subset left( {SBC} right)end{array} right. Rightarrow OMparallel left( {SBC} right){rm{ }}left( 1 right)).

Tương tự, Ta có (N,O) lần lượt là trung điểm của (SD,BD) nên (ON) là đường trung bình của tam giác (SBD) ứng với cạnh (SB)do đó (OM//SB).

Vậy (left{ begin{array}{l}ONparallel SB\SB subset left( {SBC} right)end{array} right. Rightarrow OMparallel left( {SBC} right){rm{ }}left( 2 right)). Từ (left( 1 right)) và (left( 2 right)) ta có (left{ begin{array}{l}OMparallel left( {SBC} right)\ONparallel left( {SBC} right)\OM cap ON = Oend{array} right. Rightarrow left( {OMN} right)parallel left( {SBC} right)).

Bài toán 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA (left( alpha right)) VỚI HÌNH CHÓP KHI BIẾT (left( alpha right)) SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG (left( beta right))CHO TRƯỚC

Phương pháp:

Để xác định thiết diện trong trường hợp này ta sử dụng các tính chất sau.Khi (left( alpha right)parallel left( beta right))thì (left( alpha right)) sẽ song song với tất cả các đường thẳng trong (left( beta right))và ta chuyển về dạng thiết diện song song với đường thẳng (§3)

Sử dụng (left{ begin{array}{l}left( alpha right)parallel left( beta right)\left( beta right)parallel left( gamma right)\left( beta right) cap left( gamma right) = d\M in left( alpha right) cap left( gamma right)end{array} right. Rightarrow left( alpha right) cap left( gamma right) = d”parallel d,M in d”).

Tìm đường thẳng (d) mằn trong (left( beta right)) và xét các mặt phẳng có trong hình chóp mà chứa (d), khi đó (left( alpha right)parallel d) nên sẽ cắt các mặt phẳng chứa (d)( nếu có) theo các giao tuyến song song với (d).Ví dụ 2:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và (M,N) lần lượt là trung điểm của (AB,CD). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (left( alpha right)) đi qua (MN) và song song với mặt phẳng (left( {SAD} right)). Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn:

*

Ta có (left{ begin{array}{l}M in left( {SAB} right) cap left( alpha right)\left( {SAB} right) cap left( {SAD} right) = SAend{array} right.)( Rightarrow left( {SAB} right) cap left( alpha right) = MKparallel SA,K in SB).

Tương tự (left{ begin{array}{l}N in left( {SCD} right) cap left( alpha right)\left( alpha right)parallel left( {SAD} right)\left( {SCD} right) cap left( {SAD} right) = SDend{array} right.) ( Rightarrow left( {SCD} right) cap left( alpha right) = NHparallel SD,H in SC).

Dễ thấy (HK = left( alpha right) cap left( {SBC} right)). Thiết diện là tứ giác (MNHK)

Ba mặt phẳng (left( {ABCD} right),left( {SBC} right)) và (left( alpha right)) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là (MN,HK,BC), mà (MNparallel BC Rightarrow MNparallel HK).

Vậy thiết diện là một hình thang.

Bài toán 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ THALES

Phương pháp:

Định lí Thales thừng được ứng dụng nhiều trong các bài toán tỉ số hay các bài toán chứng minh đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định.

Ví dụ 3:

Cho tứ diện (ABCD) và (M,N) là các điểm thay trên các cạnh (AB,CD) sao cho (frac{{AM}}{{MB}} = frac{{CN}}{{ND}}).

a) Chứng minh (MN) luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Cho (frac{{AM}}{{MB}} = frac{{CN}}{{ND}} > 0) và (P) là một điểm trên cạnh (AC). Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (left( {MNP} right)?)

c) Tính theo (k) tỉ số diện tích tam giác (MNP) và diện tích thiết diện.

Hướng dẫn:

*

a) Do (frac{{AM}}{{MB}} = frac{{CN}}{{ND}}) nên theo định lí Thales thì các đường thẳng (MN,AC,BD) cùng song song với một mặt phẳng (left( beta right)).Gọi (left( alpha right)) là mặt phẳng đi qua (AC) và song song với (BD)thì (left( alpha right)) cố định và (left( alpha right)parallel left( beta right))suy ra (MN) luôn song song với (left( alpha right)) cố định.

b) Xét trường hợp (frac{{AP}}{{PC}} = k), lúc này (MPparallel BC) nên (BCparallel left( {MNP} right)).

Ta có:

(left{ begin{array}{l}N in left( {MNP} right) cap left( {BCD} right)\BCparallel left( {MNP} right)\BC subset left( {BCD} right)end{array} right. Rightarrow left( {BCD} right) cap left( {MNP} right) = NQparallel BC,Q in BD).

Thiết diện là tứ giác (MPNQ.)c) Xét trường hợp (frac{{AP}}{{PC}} ne k)

Trong (left( {ABC} right))gọi (R = BC cap MP)

Trong (left( {BCD} right)) gọi (Q = NR cap BD) thì thiết diện là tứ giác (MPNQ).

Gọi (K = MN cap PQ)

Ta có (frac{{{S_{MNP}}}}{{{S_{MPNQ}}}} = frac{{PK}}{{PQ}}).

Do (frac{{AM}}{{NB}} = frac{{CN}}{{ND}}) nên theo định lí Thales đảo thì (AC,NM,BD) lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng (PQ) cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại (P,K,Q) nên áp dụng định lí Thales ta được: (frac{{PK}}{{KQ}} = frac{{AM}}{{MB}} = frac{{CN}}{{ND}} = k)( Rightarrow frac{{PK}}{{PQ}} = frac{{PK}}{{PK + KQ}} = frac{{frac{{PK}}{{KQ}}}}{{frac{{PK}}{{KQ}} + 1}} = frac{k}{{k + 1}}).

A.Nếu hai mặt phẳng (left( alpha right)) và (left( beta right)) song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong (left( alpha right)) đều song song với (left( beta right).)B.Nếu hai mặt phẳng (left( alpha right)) và (left( beta right)) song song với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong (left( alpha right)) cũng song song với bất kì đường thẳng nào nằm trong (left( beta right).)C.Nếu hai đường thẳng phân biệt (a) và (b) song song lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (left( alpha right)) và (left( beta right)) phân biệt thì (left( a right)parallel left( beta right).)D.Nếu đường thẳng (d) song song với (mpleft( alpha right)) thì nó song song với mọi đường thẳng nằm trong (mpleft( alpha right).)

Câu 3:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành tâm (O.) Gọi (M,,,N,,,I) theo thứ tự là trung điểm của (SA,,,SD) và (AB.) Khẳng định nào sau đây đúng?

A.(left( {NOM} right)) cắt (left( {OPM} right).)B.(left( {MON} right))//(left( {SBC} right).) C.(left( {PON} right) cap left( {MNP} right) = NP.) D.(left( {NMP} right))//(left( {SBD} right).)

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao vềHai mặt phẳng song song

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 2 Bài 4sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGKhình học 11Cơ bản và Nâng cao.

Xem thêm: St Vincent Là Gì – Vincent Nghĩa Là Gì

Bài tập 2.31 trang 78 SBT Hình học 11

Bài tập 29 trang 67 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 30 trang 67 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 31 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 32 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 33 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 34 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 35 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 36 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 37 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 38 trang 68 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 39 trang 68 SGK Hình học 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 4 chương 2 hình học 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phầnHỏiđáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

Chuyên mục: GIÁO DỤC


XEM THÊM CÁC THÔNG TIN KHÁC TẠI: https://taifreefire.com/

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *